2010广东高考文科数学：一道题搞定一道大题
这道大题的题目如下：
已知函数$f(x) = \begin{cases} x^2-2x, & x<1 \\\ 2x-1, & x\ge1 \end{cases}$
（1）求函数$f(x)$在$x=1$处的导数；
（2）设函数$g(x) = f(x) + |x-1|$, 求函数$g(x)$在$x=1$处的导数。
乍一看，这道题涉及到求导、绝对值等多个概念，似乎很复杂。但其实，我们可以用一道小题来搞定这两道大题。
对于（1），由于函数$f(x)$在$x=1$处不可导，所以我们无法直接求导。但是，我们可以利用导数的定义来间接求导。
导数的定义为：$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
将这个定义代入到$x=1$处，我们可以得到：
$$f'(1) = \lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^2-2(1+h)-(1^2-2\cdot 1)}{h}$$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{h^2+2h}{h}$$
$$=\lim_{h\to 0}(h+2)$$
$$=2$$
所以，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为2。
对于（2），我们先求函数$g(x)$的导数：
$$g'(x) = \begin{cases} f'(x), & x<1 \\\ f'(x)+1, & x>1 \\\ f'(x)-1, & x=1 \end{cases}$$
再将函数$f(x)$在$x=1$处的导数代入，我们可以得到：
$$g'(1) = f'(1)-1 = 2-1 = 1$$
所以，函数$g(x)$在$x=1$处的导数为1。
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