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2010广东高考文科数学:一道题搞定一道大题

2010年的广东高考文科数学试题中,有一道大题引发了不小的争议。这道题乍一看非常复杂,但如果仔细分析,其实只要用一道小题就能搞定。今天,我们就来一起解剖这道大题,看看它到底有多“难”。
2010广东高考文科数学:一道题搞定一道大题

这道大题的题目如下:

已知函数$f(x) = \begin{cases} x^2-2x, & x<1 \\\ 2x-1, & x\ge1 \end{cases}$

(1)求函数$f(x)$在$x=1$处的导数;

(2)设函数$g(x) = f(x) + |x-1|$, 求函数$g(x)$在$x=1$处的导数。

乍一看,这道题涉及到求导、绝对值等多个概念,似乎很复杂。但其实,我们可以用一道小题来搞定这两道大题。

对于(1),由于函数$f(x)$在$x=1$处不可导,所以我们无法直接求导。但是,我们可以利用导数的定义来间接求导。

导数的定义为:$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

将这个定义代入到$x=1$处,我们可以得到:

$$f'(1) = \lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$

$$=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^2-2(1+h)-(1^2-2\cdot 1)}{h}$$

$$=\lim_{h\to 0}\frac{h^2+2h}{h}$$

$$=\lim_{h\to 0}(h+2)$$

$$=2$$

所以,函数$f(x)$在$x=1$处的导数为2。

对于(2),我们先求函数$g(x)$的导数:

$$g'(x) = \begin{cases} f'(x), & x<1 \\\ f'(x)+1, & x>1 \\\ f'(x)-1, & x=1 \end{cases}$$

再将函数$f(x)$在$x=1$处的导数代入,我们可以得到:

$$g'(1) = f'(1)-1 = 2-1 = 1$$

所以,函数$g(x)$在$x=1$处的导数为1。

标签:广东高考,文科数学,导数,绝对值

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