勾股定理的奥妙:轻松证明几何定律

什么是勾股定理?
勾股定理指出,在一个直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边平方的和。也就是说,a²+b²=c²,其中a和b是直角边,c是斜边。
证明一:代数证明
代数证明勾股定理非常简单。假设一个直角三角形的三边长为a、b和c,其中a和b是直角边,c是斜边。根据勾股定理,我们有:
a²+b²=c²
现在,我们将斜边c²展开:
a²+b²=(x+y)²
化简后得到:
a²+b²=x²+2xy+y²
最后,将左右两边同减a²+b²:
0=2xy+y²
由于y不能为0(否则斜边为0,矛盾),故2xy=-y²,即y=-2x。代入第一行公式得到:
a²+b²=x²+2x(-2x)+(-2x)²
化简后得到:
a²+b²=x²-4x²+4x²
最终得到:
a²+b²=c²
证毕!
证明二:几何证明
几何证明勾股定理更直观一些。假设我们有一个直角三角形ABC,其中∠ABC=90°。现在,我们以斜边BC为直径作一个半圆。
连接点A和点C,并延长线段AC到点D,使得AD=BC。现在,连接点D和点B。
我们可以看到,△ADC和△ABC是全等的。因此,AD²=AC²+CD²。但是,AD=BC,所以:
BC²=AC²+CD²
现在,我们观察△ABD,我们可以看到:
BD²=AB²+AD²
代入刚才得到的公式,得到:
BD²=AB²+AC²+CD²
但是,BD²=BC²+CD²,所以:
BC²+CD²=AB²+AC²+CD²
化简后得到:
BC²=AB²+AC²
证毕!
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