等比数列求和公式推导趣谈
等比数列的求和公式是：
```
S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
```
其中，a_1 是等比数列的第一项，q 是等比数列的公比，n 是等比数列的项数。
那么，这个公式是怎么推导出来的呢？我们一起来看看。
1. 思路一：几何法
我们可以把等比数列看成一个几何图形，例如一个等腰三角形。
如果这个等腰三角形的底边是 a_1，高是 q，那么它的面积就是：
```
S = (a_1 * q) / 2
```
而这个三角形也可以看成是 n 个高为 q、底边为 a_1 * q^(n-1) 的小三角形的组合。
所以，等比数列的和就是所有这些小三角形的面积之和，即：
```
S_n = (a_1 q) / 2 + (a_1 * q^2) / 2 + ... + (a_1 q^n) / 2
```
我们可以把这个式子写成：
```
S_n = (a_1 / 2) * [q + q^2 + ... + q^n]
```
括号里的部分是一个等比数列，它的公比是 q，项数是 n。根据等比数列求和公式，括号里的部分等于：
```
q + q^2 + ... + q^n = (1 - q^n) / (1 - q)
```
所以，等比数列的和就是：
```
S_n = (a_1 / 2) * (1 - q^n) / (1 - q)
```
这个公式就是等比数列求和公式。
2. 思路二：代数法
我们也可以用代数法来推导出等比数列求和公式。
首先，我们定义等比数列的和为：
```
S_n = a_1 + a_1 q + a_1 * q^2 + ... + a_1 q^(n-1)
```
然后，我们将等比数列的和乘以 q，得到：
```
q S_n = a_1 * q + a_1 * q^2 + a_1 * q^3 + ... + a_1 q^n
```
最后，我们将等比数列的和减去 q 乘以等比数列的和，得到：
```
S_n - q S_n = a_1 - a_1 q^n
```
整理一下，我们就得到了等比数列求和公式：
```
S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
```
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