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2010年浙江高考数学“史诗级”压轴题，90%的考生败下阵来

2023-09-22
/ 自然文化
/ 热度：8071
2010年浙江高考数学压轴题，堪称“史上最难”，90%考生“折戟沉沙”。这道题到底难在哪里？是否真如传闻所说“无法用常理解答”？让我们一探究竟！
2010年浙江高考数学“史诗级”压轴题，90%的考生败下阵来

2010年浙江高考数学压轴题如下：

> 已知函数 $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\\ 0, & x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases}$

> 求 $\lim_{x \to 0} f(\sin x)$ 的值。

问题分析

这道题考验的是对实数性质和函数极限的理解。

  • 实数性质：实数可以分为有理数（$\mathbb{Q}$）和无理数（$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$）。

  • 函数极限：极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于的稳定值。

    • 解题过程

  • 步骤 1：判断 $x = 0$ 时的函数值。

    • 由于 $0$ 是有理数，因此 $f(0) = 1$。

  • 步骤 2：考虑 $\sin x$ 在 $x = 0$ 附近的取值范围。

    • $\sin x$ 在 $x = 0$ 附近的取值范围是 $[-1, 1]$。

  • 步骤 3：分析 $\lim_{x \to 0} f(\sin x)$。

    • 由于 $f(x)$ 的值只有 $0$ 和 $1$，而 $\sin x$ 在 $x = 0$ 附近不断在 $[-1, 1]$ 之间震荡，因此 $f(\sin x)$ 的值也会不断在 $0$ 和 $1$ 之间震荡。因此，该极限不存在。

    标签：浙江高考数学,压轴题,函数极限,实数性质
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